最近在全國製訂高中數學課程標準時，一位專(zhuan) 家對數學的作用概括了三句話：用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。

　　傳(chuan) 統的數學教育往往從(cong) 基本的概念或定義(yi) 出發，以簡練的方式合乎邏輯地推演出所要求的結論。這固然可以使學生在較短時間內(nei) 按部就班地學到盡可能多的內(nei) 容，並體(ti) 會(hui) 到一種絲(si) 絲(si) 入扣、天衣無縫的美感。但是，過分強調這一點，就可能使學生誤以為(wei) 數學這樣的完美無缺、無懈可擊是與(yu) 生俱來、天經地義(yi) 的，反而使思想處於(yu) 一種僵化狀態，在生動活潑的現實世界麵前手足無措、一籌莫展，甚至使學生感到學了很多據說非常重要、十分有用的數學知識以後，卻不會(hui) 應用或無法應用，甚至還覺得毫無用處。

　　從(cong) 今年開始，數學建模的實踐和活動也已首次列入全國高級中學的教學計劃。

　　世間萬(wan) 事萬(wan) 物都有數和形兩(liang) 個(ge) 側(ce) 麵，數學就是撇開了事物其他方麵的狀態和屬性，單純研究現實世界中空間形式與(yu) 數量關(guan) 係的科學。數學是各門科學的重要基礎，更是人類文明的重要組成部分和堅實支柱，現在，大學本科數學類的專(zhuan) 業(ye) 已經成了一個(ge) 最熱門的專(zhuan) 業(ye) 。

　　但是，要顯示數學強大的生命力，需要將實際問題化為(wei) 相應的數學問題，然後對這個(ge) 數學問題進行分析和計算，最後將所求解答回歸實際，看能否有效地回答問題，如果不能，再從(cong) 頭調整，直到基本滿意為(wei) 止。這個(ge) 過程，特別是其中第一步，就是數學建模，即為(wei) 所考察的實際問題建立數學模型。

　　數學建模是聯係數學與(yu) 應用的重要橋梁。數學建模對培養(yang) 創新型人才非常重要

　　“數學模型”和“數學建模”這兩(liang) 個(ge) 名詞出現得比較晚，在我國興(xing) 起並被廣泛使用，不過是近三十多年的事，但數學模型的建立或數學建模，古已有之。

　　公元前三世紀歐幾裏得所著的《幾何原本》是公認的數學經典。他用嚴(yan) 格演繹的方法，利用古希臘時代積累的眾(zhong) 多幾何知識建立了一個(ge) 完整的體(ti) 係，一座宏偉(wei) 的幾何大廈，為(wei) 現實世界的空間形式構建了一個(ge) 數學模型。這個(ge) 模型十分有效，在各方麵都有成功的應用，並且在它的基礎上發展出一整套幾何學、以及以演繹推理為(wei) 核心的數學研究方法，至今都發揮著巨大作用。

　　此外，開普勒根據第穀的大量天文觀測數據總結出的行星運動三大規律，後來牛頓利用與(yu) 距離平方成反比的萬(wan) 有引力公式，從(cong) 牛頓力學的原理出發，給出了嚴(yan) 格的證明，同樣是數學建模取得輝煌成功的例子。一些重要的力學、物理學的基本微分方程，如經典力學中的牛頓第二運動定律、電動力學中的麥斯韋爾方程、流體(ti) 力學中的歐拉方程與(yu) 納維-斯托克斯方程，以及量子力學中的薛定諤方程等，都是抓住學科本質的數學模型，並成為(wei) 相關(guan) 學科的核心內(nei) 容和基本理論框架。

　　1998年菲爾茲(zi) 獎得主、英國數學家高爾斯(T.Gowers)認為(wei) ：數學所研究的並非真正的現實世界，而隻是現實世界的數學模型，即所研究的那部分現實世界的一種虛構和簡化的版本。

　　按高爾斯的說法，數學研究的是現實世界的數學模型。作為(wei) 數學研究對象的數學模型本質上來自現實世界，並要接受現實世界無情而公正的檢驗。

　　仔細思考，整數，實數，以及歐氏幾何，線性空間，群論，微積分，集合論，乃至混沌，分形等等，有哪一個(ge) 不是某一方麵的數學模型呢？！整個(ge) 數學的發展曆史就是不斷建立數學模型並對其研究逐步深化的曆史。

　　從(cong) 事數學建模，好比構建一座房屋，一旦房屋初具規模，就成了一個(ge) 數學模型。以後數學家們(men) 所做的工作，就是在這個(ge) 基礎上，對建築進行內(nei) 部整理與(yu) 裝修。不論應用數學還是純粹數學，都是在數學建模基礎上加以發揮和深化。

　　同時，數學教育本質上是一種素質教育。要真正使學生走近數學、學好數學並熱愛數學，數學的教學不能和其他科學以及整個(ge) 外部世界隔離開來，關(guan) 起門來隻在數學內(nei) 部的概念、方法和理論中兜圈子。這樣做不利於(yu) 提高學生的數學素養(yang) 。

　　我們(men) 的教學應該讓學生身臨(lin) 其境地了解知識創造過程，否則素質教育就是一句空話

　　長期以來，數學課程往往自成體(ti) 係，處於(yu) 自我封閉狀態，一直沒有有效的方式，將數學學習(xi) 與(yu) 豐(feng) 富多彩、生動活潑的現實生活聯係起來，以致學生在學了許多據說是非常重要、十分有用的數學知識以後，卻不會(hui) 應用或無法應用，有些甚至還覺得毫無用處。

　　數學建模以及數學實驗等課程，為(wei) 數學與(yu) 外部世界的聯係在教學過程中打開了通道，為(wei) 提高學生的數學素質提供了一種有效的方式，並起到了積極的促進作用。這是數學教學改革的一個(ge) 成功的嚐試，也是對素質教育的一個(ge) 重要的貢獻。

　　不僅(jin) 如此，任何科學，包括數學科學在內(nei) ，在本質上都是革命的，是不斷創新、發展，與(yu) 時俱進的，可是傳(chuan) 統的數學教學過程與(yu) 這種創新、發展的實際進程卻不免背道而馳。

　　傳(chuan) 統的數學教育往往從(cong) 基本的概念或定義(yi) 出發，以簡練的方式合乎邏輯地推演出所要求的結論。這固然可以使學生在較短時間內(nei) 按部就班地學到盡可能多的內(nei) 容，並體(ti) 會(hui) 到一種絲(si) 絲(si) 入扣、天衣無縫的美感。但是，過分強調這一點，就可能使學生誤以為(wei) 數學這樣的完美無缺、無懈可擊是與(yu) 生俱來、天經地義(yi) 的，反而使思想處於(yu) 一種僵化狀態，在生動活潑的現實世界麵前手足無措、一籌莫展。

　　其實，現在看來美不勝收的一些重要的數學思想，包括函數、微積分、集合論等等，在一開始往往是混亂(luan) 粗糙、難以理解甚至不可思議的，但由於(yu) 蘊含著創造性的思想，卻又最富有生命力和發展前途，經過許多乃至幾代數學家的努力，有時甚至經過長期的激烈爭(zheng) 論，才逐步去粗取精、去偽(wei) 存真，使局勢趨於(yu) 明朗，最終出現了現在為(wei) 大家公認、甚至寫(xie) 進教科書(shu) 裏的係統理論。

　　要培養(yang) 學生的創新精神，提高學生的數學修養(yang) 及素質，固然要灌輸給他們(men) 以知識，但更重要的是要使他們(men) 了解數學的創造過程。

　　這不僅(jin) 要有機地結合數學內(nei) 容的講授，介紹數學的思想方法和發展曆史，更要創造一種環境，使學生能身臨(lin) 其境地介入數學的發現或創造過程；否則，培養(yang) 創新精神，加強素質教育，不免是一句空話。

　　今年開始數學建模首次列入全國高中教學計劃。總之，要讓學生親(qin) 口嚐嚐梨子的味道

　　在數學教學過程中，要主動采取措施，鼓勵並推動學生解決(jue) 一些理論或實際的問題。這些問題沒有現成的答案，沒有固定的求解方法，沒有指定的參考書(shu) ，沒有規定的數學工具，甚至也沒有成型的數學問題；主要靠學生獨立思考、反複鑽研並相互切磋，去形成相應的數學問題，進而分析問題的特點，尋求解決(jue) 問題的方法，得到有關(guan) 的結論，並判斷結論的對錯與(yu) 優(you) 劣。

　　總之，要讓學生親(qin) 口嚐一嚐梨子的滋味，親(qin) 身體(ti) 驗一下數學的創造過程，取得在課堂裏和書(shu) 本上無法代替的寶貴經驗和切身感受。毫無疑問，數學建模課程的教學以及數學建模競賽的開展，可以在這方麵為(wei) 學生提供一個(ge) 有益的平台，是值得引起充分重視的。

　　應該特別指出，通過數學建模將一個(ge) 看來與(yu) 數學無關(guan) 的現實問題歸結為(wei) 一個(ge) 合理的數學問題，並利用數學方法成功地予以解決(jue) ，這是重要的能力與(yu) 素質。這種能力和素質的培養(yang) 與(yu) 提高，對一個(ge) 合格的數學工作者、特別是應用數學工作者來說，對不少將來要走向各行各業(ye) 的大學生來說，無疑是十分值得重視、應該著重加以培養(yang) 的。

　　但現在的大學生，由於(yu) 在中學裏受的多半是拚命刷題的訓練，而大學的其他數學課程也大都單純著眼於(yu) 知識的傳(chuan) 播和理論上的完美，這是他們(men) 過去從(cong) 未經曆過的一種訓練，他們(men) 在這方麵的培養(yang) 實際上極為(wei) 欠缺，因而特別值得引起重視。這種培養(yang) 和訓練，絕不是可有可無的錦上添花，而是實實在在的雪中送炭。

　　這樣，數學建模不僅(jin) 是數學走向應用的必經之路，而且是啟迪數學心靈的必勝之途。這樣集知識、能力和素質的培養(yang) 與(yu) 考察三位一體(ti) ，必將有力地促進創新型優(you) 秀人才的培養(yang) ，得到學生的認真參與(yu) 和歡迎，也是對素質教育的重要貢獻。

　　數學建模對人才培養(yang) 的重要作用和深遠影響無疑值得我們(men) 大家高度重視。正因為(wei) 這樣，從(cong) 今年開始，數學建模的實踐和活動也已首次列入全國高級中學的教學計劃。

　　最近在全國製訂高中數學課程標準時，一位專(zhuan) 家對數學的作用概括了三句話：用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。

　　我舉(ju) 幾個(ge) 簡單的例子對此稍加說明！希望廣大同學能很好地體(ti) 會(hui) 這三句話，並且努力地實踐這三個(ge) 方麵的要求。

　　生活中的數學1

　　為(wei) 了嚴(yan) 禁在高鐵列車上吸煙，可以看到鐵路公安的如下提示：“車內(nei) 吸煙違法，處罰煙火報警，導致緊急停車，危及行車安全。對違法吸煙者根據《鐵路安全管理案例》處500元以上2000元以下罰款；情節嚴(yan) 重的予以拘留”。

　　這個(ge) 告示大家自然是明白的。但從(cong) 數學的角度來看，“以上”是“>”而不是“≥”，以下是“<”而不是“≤”。如果真正咬文嚼字，就不能罰500元，隻能罰501元；也不能罰2000元，隻能罰1999元，這就十分麻煩了。在數學上說，這涉及到開區間與(yu) 閉區間的區別，實在是含糊不得的。這個(ge) 告示的文字如果能改動一下，那就更好了。< p="">

　　這樣的情況實際上多有所見。在升等升級或評獎的很多場合，總有一個(ge) 評審委員會(hui) 來投票決(jue) 定結果。如果委員會(hui) 有12人，而規定“得票超過其總人數的2/3者當選”，若1人得8票，能當選嗎？如果要此人當選，應將規定改為(wei) “得票大於(yu) 、等於(yu) 總人數的2/3者當選”。大家將來如果有機會(hui) 主持投票選舉(ju) ，一定要注意。這樣做，絕不是吹毛求疵，而是堅持數學的嚴(yan) 格性，避免造成工作上的麻煩，這就是數學帶來的好處。

　　生活中的數學2

　　在高速公路上，常有電子屏幕顯示前麵的路況，供駕駛人員參考。好多城市的高速路上，提醒前方某一路口出現堵車，往往是“××路口車流量大”。然而，這是不是一個(ge) 確切而準確的堵車提示呢？車流量應該是單位時間(每小時)內(nei) 行駛過的車輛數，車流量大，說明通過這個(ge) 路口的車輛數多，怎麽(me) 能說是“堵車”呢？如果這條道上一輛車都沒有，其車流量為(wei) 零，那這是堵車還是暢通呢？因此，單獨用車流量的大小來刻畫堵車，並不正確。

　　生活中的數學3

　　拐點，是微積分中的一個(ge) 概念，說的是函數y=f(x)的一階導數的極值點。在日常生活中，我們(men) 也經常聽到拐點這個(ge) 詞。股市中的“拐點”，其實是股市價(jia) 格的轉折點。股票的價(jia) 格有漲有落，股民關(guan) 心股票價(jia) 格的發展趨勢，股票的價(jia) 格由降到升(或相反)的點就稱為(wei) 拐點，這與(yu) 微積分中的拐點不同。新冠病毒防控的拐點則是每天的增量開始減少的點，這時所說的拐點，和微積分中的拐點概念就是一致的。這說明，同一個(ge) 名詞，在生活中用於(yu) 不同的場合，其意義(yi) 可以是不同的。我們(men) 學數學的，要會(hui) 得分清其間的差別，才能有一個(ge) 正確的認識。

　　中國科學院院士 李大潛