【科技文明探源】

　　◎本報記者 孫明源

　　今人眼中看似簡單的數字，其實是人類數學發展數萬(wan) 年的智慧結晶。如何表示數、記錄數，采用何種進製，直接決(jue) 定了數學運算、應用乃至記錄傳(chuan) 承下去的方式。阿拉伯數字具有進位明確、便於(yu) 書(shu) 寫(xie) 等優(you) 點，成為(wei) 現代世界通用的計數符號。

　　阿拉伯數字其實是印度人的發明，因為(wei) 經阿拉伯人傳(chuan) 入歐洲而得名。學術界稱為(wei) 印度—阿拉伯數字。在印度人這一發明之前，中國就發展出了一套實用、完善的記數係統——算籌記數法。中國科學院自然科學史研究所研究員鄒大海表示，算籌是中國古代常用的計算工具，也叫算、籌、策、籌策、算子等。用算籌來記數和計算以及相應的方法，稱為(wei) 籌算。籌算是中國古代數學的特色。

　　在古代，中國數學是東(dong) 亞(ya) 數學的代表，在世界數學史上具有鮮明特色。鄒大海認為(wei) ，相比於(yu) 其他地區的古代數學，中國古代數學以計算和算法見長，其主要原因之一就是普遍采用籌算，不僅(jin) 產(chan) 生了先進的記數法，而且有一套表示未知量和代數式的方法，它以獨特的方式實現了代數符號的功能。

　　十進位值製記數法最早出現在中國

　　進製是數學的基本概念之一，其含義(yi) 是“累計若幹個(ge) 基本單位即形成下一個(ge) 單位”。人們(men) 比較熟悉的進製包括最常見的十進製、用於(yu) 時間和角度計量的六十進製、計算機領域常見的二進製和十六進製等。

　　進製的基礎上發展出了位值製觀念，即數字所在的位置可以表示該數字單位對應的倍數。例如在阿拉伯數字5234當中，5所在的位置是“千”位，表示5個(ge) 千，而2、3、4在“百”“十”“個(ge) ”位，分別表示2個(ge) 百、3個(ge) 十、4個(ge) 一。許多記數係統沒有位值製觀念，例如古埃及數字由於(yu) 沒有位值製觀念，顯得非常繁瑣。

　　鄒大海介紹，十進製最早見於(yu) 古埃及；位值製最早見於(yu) 古代兩(liang) 河流域，那裏的人采用了六十進的位值製；而現代通行的十進位值製記數法則最早起源於(yu) 中國。

　　中國人很早就采用了十進製，中國漢字的數字記法就是十進製係統。一既是基本數字，也是數字單位，此外常見的數字單位有十、百、千、萬(wan) 、億(yi) 、兆、京等。

　　例如“一兆八千五百三十億(yi) 二千一十八萬(wan) 八千八百五十一”這個(ge) 數，隻要把空著的數位用〇代替，將兆、億(yi) 、萬(wan) 、千、百、十等數字單位撤去，就變成“一八五三〇二〇一八八八五一”，這與(yu) 現代的“1853020188851”一一對應。可見，中國文字記數法是相當先進的，可以很容易跟通行的阿拉伯數字表示法進行轉化。但是，中國文字表示法隻是準十進位值製，尚不完善。真正采用十進位值製的是算籌記數法。公元14世紀以前，算籌曾是廣泛使用的計算工具，之後就逐漸被算盤所取代。

　　算籌的形象類似筷子，源於(yu) 遠古人們(men) 用長條形小棍計數的習(xi) 慣。用算籌表示一至九有縱、橫兩(liang) 種形式。

　　《夏侯陽算經》說：“滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張。”意思是，對於(yu) 一到五，是幾就用幾根算籌表示；對於(yu) 六到九，則將其中所含的五用一根算籌放在上麵表示，餘(yu) 下幾就用幾根算籌與(yu) 之垂直放在下麵就可以了。比如╥表示七，上麵一根表示五、下麵兩(liang) 根表示二。

　　對於(yu) 多位數，《孫子算經》記有其算籌表示法：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wan) 百相當。”古人在個(ge) 位擺縱式，十位擺橫式，百位又用縱式，千位又用橫式，如此縱橫交錯進行。鄒大海強調，本來隻用兩(liang) 式的一種就夠了，但縱橫交錯的方法更為(wei) 清晰，也不容易弄亂(luan) 。算籌記數法大約產(chan) 生於(yu) 西周、春秋之際，也可能更早。在出土的先秦陶片和貨幣上可以看到這種記數法的痕跡。

　　籌算具有強大的記數和運算功能

　　籌算加減法比較簡單，古人沒有記載。對於(yu) 複雜的乘除法，古人將算籌擺成三行，中行為(wei) 乘積或被除數，下行為(wei) 乘數或除數，上行為(wei) 被乘數或商。利用九九口訣與(yu) 算籌記數法相配合，就可以得出結果。這個(ge) 過程在本質上與(yu) 現代的豎式乘除法很接近。

　　籌算還可以求解線性方程組，在公元前1世紀成書(shu) 的《九章算術》中，用一種稱為(wei) “方程”的方法來表示問題和求解，其表達方式和運算方法都跟現代的增廣矩陣很相似，而求解線性方程組的增廣矩陣方法在歐洲是18、19世紀之交才出現的。鄒大海介紹，在籌算的方程中，不同位置具有指示不同未知量和常數項的作用，相當於(yu) 現代的分離係數法。正是方程導致了正負數概念的產(chan) 生，古代一般用黑色和紅色的算籌分別表示負數和正數。

　　《九章算術》也用籌算來開平方、開立方，還用來求一元二次方程的解。這種方法不斷發展，到宋代已形成了一套求一元高次方程數值解的方法。宋元時代還發展出列方程的普遍方法，先是出現了針對一個(ge) 未知量求解的天元術，後來發展到最多可達四個(ge) 未知量的高次方程組的列法與(yu) 解法——四元術，用天、地、人、物指示未知量。鄒大海強調，這種方法所列出的算式中除算籌和個(ge) 別漢字“太”或“元”外，不使用符號，而是通過位置來體(ti) 現未知量及其冪，實現了代數符號的功能，這在某些方麵甚至比現代的符號方法更具優(you) 勢。

　　中國古代以文字和籌算配合，使得數學工作得以開展並傳(chuan) 承。籌算以其強大的記數、符號和運算功能，在中國古代數學的發展過程中發揮了重大的作用。

　　後來隨著商業(ye) 的發展，籌算捷法和相應的口訣發展起來，之後籌算被珠算取代。珠算通過沿用、改良籌算的口訣和方法，在商業(ye) 、會(hui) 計和日常生活中發揮著巨大的作用。

　　但籌算也有其局限性。鄒大海指出，籌算的缺點之一是無法保留演算的過程，中間操作有誤就難以追溯。二是算籌使用起來比較占地方。三是較難實現超過四元的列式和運算。

　　籌算影響中國傳(chuan) 統文化

　　明代天元術、四元術等失傳(chuan) ，籌算被珠算、筆算取代，但其方法和思想仍在數學發展中發揮作用，甚至已滲透到中國思想文化的方方麵麵。

　　鄒大海強調，籌算的重要意義(yi) 在於(yu) 製訂和利用一係列規則和方法。籌算靠的主要是智力，並特別講究精準，所以在中國傳(chuan) 統文化中很多反映智力活動的用語都與(yu) 籌算有關(guan) 。比如謀劃叫“運籌”“籌劃”，用“運籌帷幄，決(jue) 勝千裏”表示指揮官在後方謀劃得好讓前線取得勝利。又如考慮得周全叫“算無遺策”“胸有成算”，而謀劃失誤則叫“失算”“失策”。其他如人們(men) 常說的“算計”“暗算”“盤算”“算命”“勝算”等詞匯，皆源自古代的籌算思維。

　　“古人充分發掘算籌記數法中的位置功能，並用算籌來表示代數式，設計相應的運算方法，形成了中國古代獨具特色的籌算傳(chuan) 統。中國古代的算術和代數在世界上曾處於(yu) 先進乃至領先地位，與(yu) 籌算有很大關(guan) 係。籌算是中華文化的重要組成部分，籌算的思維也對社會(hui) 文化和人們(men) 的生活產(chan) 生了一定影響。”鄒大海說。（科技日報）